Question

Два вольтметра с внутренними сопротивлениями 6000 Ом и 4000 Ом соединены последовательно. Параллельно к ним включено сопротивление 10000 Ом. На эту систему дано напряжение 180 В. Каковы показания вольтметров, когда ключ К замкнут, а движок D соединен с серединой сопротивления R3?
Показания выразить в СИ и округлить до целого. В целой части ответа записать показание первого вольтметра, в дробной – второго

Answer 1

Ответ:

$V_1 = U_\mathcal{E} \Bigg/ \Bigg( 1 + \frac{ \frac{1}{R_1} + \frac{2}{R_3} }{ \frac{1}{R_2} + \frac{2}{R_3} } \Bigg) \approx 99.18$  В ,

$V_2 = U_\mathcal{E} \Bigg/ \Bigg( 1 + \frac{ \frac{1}{R_2} + \frac{2}{R_3} }{ \frac{1}{R_1} + \frac{2}{R_3} } \Bigg) \approx 80.82$  В .

Объяснение:

$R_1 = 6$  кОм, сопротивление вольтметра  $V_1$ ,

$R_2 = 4$  кОм, сопротивление вольтметра  $V_2$ ,

$R_3 = 10$  кОм, сопротивление реостата  $R_3$ ,

$U_\mathcal{E} = 180$  В, подаваемое в цепь напряжение.

Верхняя часть реостата  $R_3$  , имеющая сопротивление  $R_H = \frac{R_3}{2}$  , подключена, как и  $V_1$  , между верхним потенциалом анода батареи и потенциалом ключа  $K$  , т.е. их сопротивления работают, как пара параллельных. Соответственно, можно заключить, что между указанными потенциалами, под напряжением  $V_1$  , включено эквивалентное сопротивление  $R_{1H} = \frac{1}{1/R_1 + 1/R_H} = \frac{1}{1/R_1 + 2/R_3}$  .

Нижняя часть реостата  $R_3$  , имеющая сопротивление  $R_H = \frac{R_3}{2}$  , подключена, как и  $V_2$  , между нижним потенциалом катода батареи и потенциалом ключа  $K$  , т.е. их сопротивления точно так же работают, как пара параллельных. Соответственно, можно заключить, что между указанными потенциалами, под напряжением  $V_2$  , включено эквивалентное сопротивление  $R_{2H} = \frac{1}{1/R_2 + 1/R_H} = \frac{1}{1/R_2 + 2/R_3}$  .

Напряжения  $V_1$  , между андом и ключом, и   $V_2$  , между катодом и ключом, складываясь, дадут напряжение батареи. В тоже время, эти напряжения пропорциональны эквивалентным сопротивлениям, находящимся под указанными напряжениями:

$V_1 + V_2 = U_\mathcal{E}$  ;

$\frac{ V_1 }{ R_{1H} } = I = \frac{ V_2 }{ R_{2H} }$  ;

Из второго:  $V_2 = \frac{ R_{2H} }{ R_{1H} } V_1$  ;

Из первого:  $V_1 + \frac{ R_{2H} }{ R_{1H} } V_1 = U_\mathcal{E}$  ;

$V_1 ( 1 + \frac{ R_{2H} }{ R_{1H} } ) = U_\mathcal{E}$  ;

$V_1 = U_\mathcal{E} / ( 1 + \frac{ R_{2H} }{ R_{1H} } )$  ;

$V_1 = U_\mathcal{E} \Bigg/ \Bigg( 1 + \frac{ \big( \frac{1}{1/R_2 + 2/R_3} \big) }{ \big( \frac{1}{1/R_1 + 2/R_3} \big) } \Bigg) = U_\mathcal{E} \Bigg/ \Bigg( 1 + \frac{ \frac{1}{R_1} + \frac{2}{R_3} }{ \frac{1}{R_2} + \frac{2}{R_3} } \Bigg) \approx$

$\approx 180 \Bigg/ \Bigg( 1 + \frac{ \frac{1}{6} + \frac{2}{10} }{ \frac{1}{4} + \frac{2}{10} } \Bigg)$  В  $= 180 \Bigg/ \Bigg( 1 + \frac{ \frac{1}{6} + \frac{1}{5} }{ \frac{1}{4} + \frac{1}{5} } \Bigg)$  В  $=$

$180 \big/ \big( 1 + \frac{11}{30} \big/ \frac{9}{20} \big)$  В  $= 180 \big/ ( 1 + \frac{22}{27} )$  В  $= 180 \cdot \frac{27}{49}$  В  $\approx 99.18$  В .

Аналогично:

$V_2 = U_\mathcal{E} \Bigg/ \Bigg( 1 + \frac{ \frac{1}{R_2} + \frac{2}{R_3} }{ \frac{1}{R_1} + \frac{2}{R_3} } \Bigg) \approx 180 \Bigg/ \Bigg( 1 + \frac{ \frac{1}{4} + \frac{2}{10} }{ \frac{1}{6} + \frac{2}{10} } \Bigg)$  В  $=$

$180 \big/ \big( 1 + \frac{9}{20} \big/ \frac{11}{30} \big)$  В  $= 180 \big/ ( 1 + \frac{27}{22} )$  В  $= 180 \cdot \frac{22}{49}$  В  $\approx 80.82$  В .

Ну, и, разумеется,  $V_2$  можно было бы найти простым вычитанием в последовательной цепи:

$V_2 = U_\mathcal{E} - V_1 \approx 180$  В  $- 99.18$  В  $\approx 80.82$  В .