Question

Дан куб, на гранях которого написаны числа таким образом, что каждое из них равно среднему арифметическому соседних 4-х чисел.Какое соотношение между собой имеют эти числа?

Answer 1

Пусть числа равны $x;y;z;w;e;f$ всего их 6 , так как в кубе 6 граней! 
тогда по условию , выполняются такие условия          
$frac{x+y+z+w}{4}=e\ frac{x+y+z+w}{4}=f\ frac{w+y+e+f}{4}=x\ frac{e+x+f+z}{4}=y\ frac{e+x+f+z}{4}=w\ frac{e+w+f+y}{4}=z\\ x+y+z+w=4e\ x+y+z+w=4f\ w+y+e+f=4x\ w+y+e+f=4z\ e+x+f+z=4y\ e+x+f+z=4w$
Вычтем друг от друга одинаковые уравнения получим:
$4e-4f=0\ 4x-4z=0\ 4y-4w=0$
Так как они все равны 0, то мы имеет право их приравнять! 
$4e-4f=4x-4z\ 4y-4w=4e-4f\ 4y-4w=4x-4z$
Следовательно отудого такие соотношения 
$frac{e-f}{x-z}=1\ frac{y-w}{e-f}=1$
или можно ее записать что то вроде канонического уравнения 
$frac{e-f}{x-z}=frac{y-w}{e-f}=frac{y-w}{x-z}$