Ответы
Розв'язання: Площа бічної поверхні піраміди SABCD визначається як сума площ всіх її бічних граней (трикутників):
Sб=SSAD+SSAB+SSDC+SSBC.
За умовою задачі, основою чотирикутної піраміди SABCD є квадрат ABCD зі стороною AB=BC=CD=AD=a, в висота проходить через вершину квадрата, тому SA⊥(ABCD), тобто SA⊥AD і SA⊥AB,, звідси слідує, що трикутники SAD і SAB – прямокутні.
Розглянемо прямокутні трикутники SAD (∠SAD=90) і SAB (∠SAB=90).
В них AD=AB=a і SA=H (як висота піраміди) – катети цих трикутників, тому ΔSAD=ΔSAB (за двома катетами).
Довжини їх гіпотенуз обчислюємо за теоремою Піфагора:
Площа трикутників SAD і SAB:
SSAD=SSAB=aH/2 (півдобуток катетів).
Відрізок SA – перпендикуляр опущений на площину основи піраміди (квадрата ABCD), відрізок SD – похила, а відрізок AD – проекція похилої на площину основи.
Оскільки AD⊥CD, то за теоремою «про три перпендикуляри» (пряма, що перпендикулярна до проекції похилої, перпендикулярна і до самої похилої) маємо SD⊥CD, тому трикутник SDC – прямокутний.
Аналогічно встановлюємо, що трикутник SBC – прямокутний.
Розглянемо прямокутні трикутники SDC (∠SDC=90) і SBC (∠SBC=90).
В них CD=BC=a і – катети цих трикутників, тому ΔSDC=ΔSBC (за двома катетами).
Їх площа:
(півдобуток катетів).
Площу бічної поверхні піраміди SABCD знаходимо через суму подвійних добутків площ відповідних граней: