Question

100 баллов! Решите следующее:

Answer 1

$\sqrt{36^{x} -3*6^{x+1}+81}+6^{x}\leq 9-\sqrt{16^{x}-9*4^{x}+18}\\\\\sqrt{(6^{x})^{2}-3*6^{x}*6+81}+6^{x}\leq9- \sqrt{(4^{x})^{2}-9*4^{x}+18}\\\\\sqrt{(6^{x}-9)^{2}}+6^{x}\leq9-\sqrt{(4^{x}-3)(4^{x}-6)}$

Найдём ОДЗ для корня стоящего справа :

$(4^{x}-3)(4^{x}-6)\geq 0\\\\\left[\begin{array}{ccc}4^{x}\leq 3 \\4^{x}\geq6  \end{array}\right \\\\\left[\begin{array}{ccc}x \leq log_{4}3\\x \geq log_{4}6  \end{array}\right\\\\x\in(-\infty;log_{4}3]\cup[log_{4}6;+\infty)$

$\sqrt{(6^{x}-9)^{2}}+6^{x}\leq9-\sqrt{16^{x}-9*4^{x}+18}\\\\\sqrt{16^{x}-9*4^{x}+18}\leq9-6^{x} -|6^{x} -9|$

Раскроем модуль :

$1)6^{x}-9\leq 0\Rightarrow \sqrt{16^{x} -9*4^{x}+18} \leq 9-6^{x}+6^{x}-9\\\\\sqrt{16^{x} -9*4^{x}+18}\leq0$

Корень квадратный не может принимать значения меньше нуля, значит: при $x\leq log_{6}9$

$\sqrt{16^{x}-9*4^{x}+18}=0\\\\16^{x}-9*4^{x}+18=0\\\\x_{1}=log_{4}3\\\\x_{2} =log_{4}6$

Сравним

$Log_{4}6ilog_{6}9\\\\log_{4}6-1=log_{4}6-log_{4}4=log_{4}\frac{6}{4}=log_{4}\frac{3}{2}\\\\log_{6}9-1=log_{6}9-log_{6}6=log_{6}\frac{9}{6}=log_{6}\frac{3}{2}\\\\4<6 \Rightarrow log_{4} \frac{3}{2}> log_{6}\frac{3}{2}$

Значит подходит только корень x₁ .

$2)6^{x}-9>0\\\\\sqrt{16^{x}-9*4^{x}+18}\leq9-6^{x}-6^{x}+9\\\\9-6^{x}-6^{x}+9=18-2*6^{x}<0,tak .kak 6^{x}>9$

решений нет

$Otvet:\boxed{ log_{4}3}$