Question

Решите неопределенный интеграл

Answer 1

$\int \frac{dx}{x(x +1 )}$

Преобразуем подинтегральную функцию (сначала в числителе прибавим и вычтем х, потом сделаем почленное деление и проведем сокращение):

$f(x) = \frac{1}{x(1 + x)} = \frac{(1 + x) - x}{x(1 + x)} = \\ = \frac{1 + x}{x(1 + x)} - \frac{x}{x(1 + x)} = \\ = \frac{1}{x} - \frac{1}{1 + x}$

Таким образом

$\int \frac{dx}{x(x +1 )} = \int \frac{dx}{x} - \int \frac{dx}{1 + x} = \\ = lnx - ln(x + 1) + c = \\ = ln\frac{x}{x + 1} + c$