Question

Помогите с решением комплексного числа.

(1-i)^5-1 / (1+i)^5+1

Answer 1

$\frac{(1-i)^{5}-1}{(1-i)^{5}+1}}=$

Воспользуемся формулой биноминального разложения двучлена

для 5-ой степени:  (a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

1)

$(1-i)^{2}=1^5+5*1^4*(-i)+10*1^3*(-i)^2+10*1^2*(-i)^3+5*1*(-i)^4+(-i)^5=$

$=1-5i+10i^2-10i^3+5i^4-i^5=$

$=1-5i+10*(-1)-10*(-1)i+5*(-1)^2-(-1)^2*i=$

$=1-5i-10+10i+5-i=$

$=-4+4i$

2)

$(1+i)^{2}=1^5+5*1^4*i+10*1^3*i^2+10*1^2*i^3+5*1*i^4+i^5=$

$=1+5i+10*(-1)+10*i^2*i+5*(-1)^2+(-1)^2i=$

$=1+5i+10*(-1)+10*i^2*i+5*(-1)^2+(-1)^2i=$

$=1+5i-10-10i+5+i=$

$=-4-4i$

3)

$\frac{(1-i)^{5}-1}{(1-i)^{5}+1}}=\frac{(-4+4i)-1}{(-4-4i)+1}=\frac{-5+4i}{-3-4i}=$

$=\frac{-5+4i}{-3-4i}=\frac{-(5-4i)}{-(3+4i)}=\frac{5-4i}{3+4i}=$

$=\frac{(5-4i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)}=\frac{15-12i-20i+(4i)^2}{3^2-(4i)^2}=$

$=\frac{15-32i-16}{9+16}=\frac{-1-32i}{25}=-0,04-1,28i$

Ответ:  $-0,04-1,28i$