Question

100 баллов - две задачи с производными функции!

Answer 1

Задание 2.

Дана функция:

$f(x) = 4 \cos( \frac{x}{2} ) - x \sqrt{2}$

Найдём производную ( f'(x) = g(x) ):

$g(x) = \frac{d}{dx} (4 \cos( \frac{x}{2} ) ) + \frac{d}{dx} ( - \sqrt{2}x ) \\ g(x) = 4( - \sin( \frac{x}{2} ) \times \frac{1}{2} ) - \sqrt{2} \\ g(x) = - 2 \sin( \frac{x}{2} ) - \sqrt{2}$

Теперь найдём g(x) < 0:

$- 2 \sin( \frac{x}{2} ) < \sqrt{2} \\ \sin( \frac{x}{2} ) > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Заменим x/2 на t:

$\sin(t) > - \frac{ \sqrt{2} }{2}$

Тогда

$arcsin( - \frac{ \sqrt{2} }{2}) < t < \pi - arcsin( - \frac{ \sqrt{2} }{2} )$

Так как период синуса 2π, прибавим его к серии точек:

$- \frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n\\ - \frac{\pi}{4} + 2\pi n < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$

Обратная замена:

$- \frac{\pi}{4} + 2\pi n < \frac{x}{2} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \\ - \frac{\pi}{2} + 4\pi n < x< \frac{5\pi}{2} + 4\pi n$

Это и есть ответ.

Задание 3.

Дана функция:

$y = (3x + 1)^{3} \times \cos( {x}^{2} + 2x + 1)^{3} + \pi^{3}$

Найдём производную ( y' = g(x) ):

$g(x) = \frac{d}{dx} ((3x + 1)^{3} \cos(( {x + 1)}^{2} ) + \pi^{3} \\ g(x) = \frac{d}{dx} (( {3x + 1)}^{3} ) \cos((x + 1)^{2} ) + \frac{d}{dx} ( \cos( {(x + 1)}^{2} ) (3x + 1)^{3} \\ g(x) = 3(3x + 1)^{2} \times 3\cos((x + 1)^{2} ) + (3x + 1)^{3} ( - \sin((x + 1)^{2} \times 2(x + 1)) \\ g(x) = 9(3x + 1) ^{2} \cos( {(x + 1)}^{2} ) -2 (3x + 1)^{3} \sin( {(x + 1)}^{2} ) (x + 1)$

Теперь подставляем вместо x число -1:

$g( - 1) = 9 {(3( - 1) + 1)}^{3} \cos( {( - 1 + 1)}^{2} ) - 2 \times (3( - 1) + 1)^{3} \sin(( - 1 + 1)^{2} ) ( - 1 + 1) \\ g( - 1) = 9( - 2)^{3} \times \cos(0) - 0 \\ g(-1) = 9 \times ( - 8) \times 1 \\ g(-1) = - 72$

Ответ: -72.