Question

Нечетная функция определена на всей числовой прямой и является периодической с периодом 5.Найдите значение выражения.

f(-81) * f(100)/f(16) +f(26) ,если f(-6)=13

Answer 1

Функция является периодической с периодом 5, если $f(x+5T)=f(x), \quad T \in \mathbb Z$.

И является нечётной, если $f(-x)=-f(x)$

Найдём f(–81):

$f(-81)=f(-6+5 \cdot (-15))=f(-6)=13$

Также очевидно равенство $f(16)=f(16+5\cdot 2)=f(26)$

Найдём $f(26)$:

$f(6)=-f(-6)=-13\\f(26)=f(6+5 \cdot 4)=f(6)=-13$

Получим:

$f(-81) \cdot \dfrac{f(100)}{f(16)}+f(26)=13 \cdot \dfrac{f(100)}{-13}-13=-f(100)-13$

Если непрерывная функция нечётна, то она симметрична относительно начала координат, то есть $f(0)=0$. Тогда получим ответ:

$-f(100)-13=-f(100+5 \cdot (-20))-13=f(0)-13=0-13=-13$