Question

Телу, находящемуся на полюсе Земли, сообщили направленную вертикально вверх со скорость. Максимальная высота подъёма тела составила 206 км. Определите начальную скорость тела. Радиус Земли принять равным 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности земли 10 м/с^2.
Помогите, пожалуйста, очень нужно
Ответ с решением

Answer 1

Ответ:

$v = \sqrt{ \frac{2g}{ 1/h + 1/R_3 } } \approx 2$  км/с .

$v = \sqrt{2gh} \approx 2$  км/с ;

Объяснение:

$h = 206$  км  $= 206 \ 000$  м – максимальная высота подъёма ;

$R_3 = 6 \ 400$  км  $= 6 \ 400 \ 000$  м – радиус Земли ;

$g = 10$  м/c² – ускорение свободного падения на поверхности ;

$v = ?$  – найти начальную скорость.

Далее в решении мы никак не будем учитывать вращение Земли, поскольку дело происходит на полюсе, где линейная скорость вращения поверхности земли относительно её центра пренебрежимо мала.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, когда её общее изменение необходимо учесть на расстояниях, отличающихся на величину, соизмеримую с радиусом Земли, описывается выражаением:

$W_G = - \gamma \cdot \frac{Mm}{r}$  ,  где  $M$  и  $m$  – большое и малое гравитирующие тела, а  $r$  – расстояние между ними.

Правильность такого расчёта легко проверить следующим образом. Пусть тела находятся на расстоянии  $r_o$  , а затем под действием гравитации приближаются на расстояние  $( r_o - \Delta r )$  . Значит их потенциальная энергия уменьшится со значения  $W_{Go} = - \gamma \cdot \frac{Mm}{r_o}$  , до значения  $W_{Gn} = - \gamma \cdot \frac{Mm}{ r_o - \Delta r }$  . Падение потенциальной энергии таким образом (равное росту кинетической):

$\Delta W_{G} = W_{Go} - W_{Gn} = [ - \gamma \cdot \frac{Mm}{r_o} ] - [ - \gamma \cdot \frac{Mm}{ r_o - \Delta r } ] =$

$= \gamma Mm ( \frac{1}{ r_o - \Delta r } - \frac{1}{r_o} ) = \gamma Mm \cdot \frac{ r_o - ( r_o - \Delta r ) }{ ( r_o - \Delta r ) r_o } \approx \gamma Mm \cdot \frac{ \Delta r }{ r_o^2 }$  ;

(*)  $\Delta W_{G} = \gamma Mm \cdot \frac{ \Delta r }{ r_o^2 }$  ;

Но с другой стороны, падение потенциальной энергии равно работе гравитационного поля:

(**)  $\Delta W_{G} = \Delta A_G = F_G \cdot \Delta r = ( \gamma \cdot \frac{Mm}{r_o^2} ) \cdot \Delta r$  ;

Как легко видеть, выражения (*) и (**) – равны, что доказывает справедливость описания потенциальной энергии гравитационного взаимодействия выражением:

$W_G = - \gamma \cdot \frac{Mm}{r}$  ;

Общая механическая энергия (вместе с кинетической  $E$  ) в верхней точке будет такой же, какой была в нижней, за вычетом  $A_{conp}$  работы сил сопротивления среды (атмосферы):

$W_{Go} + E_o - A_{conp} = W_{Gn} + E_n$  ;

Поскольку сопротивление мы не учитываем (пренебрегаем), то уравнение принимает вид:

$- \gamma \cdot \frac{Mm}{r_o} + \frac{mv^2}{2} = - \gamma \cdot \frac{Mm}{r_n} + 0$  ;

Умножим на  $\frac{2}{m}$  :

$v^2 = 2 \gamma \cdot \frac{M}{r_o} - 2 \gamma \cdot \frac{M}{r_n}$  ;

$v^2 = 2 \gamma M ( \frac{1}{r_o} - \frac{1}{r_n} ) = 2 \gamma M ( \frac{1}{ R_3 } - \frac{1}{ R_3 + h } ) =$

$= 2 R_3 \gamma \cdot \frac{M}{R_3^2} ( 1 - \frac{R_3}{ R_3 + h } ) = 2 g \cdot \frac{R_3 h}{ R_3 + h }$  ;

$v = \sqrt{ \frac{2g}{ 1/h + 1/R_3 } } \approx \sqrt{ 20 / ( \frac{1}{206 \ 000} + \frac{1}{ 6 \ 400 \ 000 } ) }$  м/с  $\approx 1998$  м/с  $\approx 1.998$  км/с $\approx 2$  км/с .

Мы пренебрегли сопротивлением воздуха, так что вычислять так точно падение потенциальной энергии с учётом меняющегося  $g$  не имеет практического смысла. Можно посчитать то же самое и по более простому, приближённому алгоритму:

$\frac{mv^2}{2} = mgh$  ;

$v^2 = 2gh$  ;

$v = \sqrt{2gh} \approx \sqrt{ 20 \cdot 206 \ 000 }$  м/с  $\approx 2030$  м/с  $\approx 2$  км/с ;

*** Вообще, всё выглядит немного странно, тут подозрительно странным числом указана высота. К чему это 206? Возможно в исходном условии было:  $h = 2 \cdot 10^3$  км  $= 2 \cdot 10^6$  м.

Тогда бы верное решение получалось только первым способом:

$v = \sqrt{ \frac{2g}{ 1/h + 1/R_3 } } \approx \sqrt{ 20 / ( \frac{1}{2 \ 000 \ 000} + \frac{1}{ 6 \ 400 \ 000 } ) }$  м/с  $\approx 5520$  м/с  $\approx 5.52$  км/с  $\approx 5.5$  км/с .

В упрощённом варианте подсчёта при этом была бы уже значительная ошибка:

$v = \sqrt{2gh} \approx \sqrt{ 20 \cdot 2 \ 000 \ 000 }$  м/с  $\approx 6325$  м/с  $\approx 6.3$  км/с .