Question

Найти значения выражения, используя определения и свойства скалярного и векторного произведений

а) (3a+4b)*(a-b)

б) |(3a-4b)×(b+a)|


где |a| = 5, |b| = 2, a^b = п/6

Answer 1

$|\vec{a}|=5\; ,\; |\vec{b}|=2\; ,\; \alpha =\frac{\pi}{6}\\\\\\a)\; \; (3\vec{a}+4\vec{b})\cdot (\vec{a}-\vec{b})=3\vec{a}^2-3\vec{a}\cdot \vec{b}+4\vec{b}\cdot \vec{a}-4\vec{b}^2=3|\vec{a}|^2+\vec{a}\cdot \vec{b}-4|b|^2=\\\\=3\cdot 25+|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot cos\frac{\pi}{6}-4\cdot 4=75+5\cdot 2\cdot \frac{\sqrt3}{2}-16=59+5\sqrt3$

$b)\; \; (3\vec{a}-4\vec{b})\times (\vec{b}+\vec{a})=3(\vec{a}\times \vec{b})+3(\underbrace {\vec{a}\times \vec{a}}_{0})-4(\underbrace {\vec{b}\times \vec{b}}_{0})-4(\underbrace {\vec{b}\times \vec{a}}_{-(\vec{a}\times \vec{b})})=\\\\=7(\vec{a}\times \vec{b})\\\\|(3\vec{a}-4\vec{b})\times (\vec{b}+\vec{a})|=|7(\vec{a}\times \vec{b})|=7\cdot |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot sin\frac{\pi}{6}=7\cdot 5\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=35$

Answer 2

Ответ:

а) (3·a+4·b)·(a-b)=59+5·√3

б)  |[(3·a-4·b) × (b+a)]|=35

Пошаговое объяснение:

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними (векторы = жирный шрифт):

a · b = |a| · |b| cos α

|a| = 5, |b| = 2, α=∠(a,b) = π/6

Полезное для задачи свойства скалярного произведения векторов

1) (α·a) · b = α·(a · b)

2) a · b = b · a

3) a · a = |a|²

4) (a + b) · c = a · c + b · c

а) (3·a+4·b)·(a-b)=3·a·a-3·a·b+4·b·a-4·b·b=3·|a|²-3·a·b+4·a·b-4·|b|²=

=3·5²+a·b-4·2²=3·25+|a| · |b| cos π/6-4·4=75+5·2·√3/2-16=59+5·√3

Векторным произведением двух векторов  a и b будем называть такой вектор c=[axb], длина которого определяется по формуле:  

|c|=|a x b| = |a| · |b| sin α

Полезное для задачи свойства векторного  произведения векторов

1) [α·a x b]= α·[a x b]

2) [a x b] = - [b x a]

3) [a x a} = 0, так как sin 0°=0

4) [(a + b) x c] = [a x c]+ [b x c]

б)  |[(3·a-4·b) × (b+a)]|=|3·[a × b]+3·[a x a]-4·[b × b]-4·[b × a]|=

=|3·[a × b]+0-0+4·[a × b]|=7·|[a × b]|=7·|a| · |b| · sin π*6=7·5·2·1/2=35