Question

Вычислить координаты точки М(x; y; z), если ее радиус-вектор составляет с осями OY и OZ углы 45° и 90°, а его длина равна 12.

Answer 1

$M(x;y;z)\; \; ,\; \; |\overline {OM}|=12\; \; ,\; \; \beta =45^\circ \; \; ,\; \; \gamma =90^\circ \\\\cos^2\alpha +cos^2\beta +cos^2\gamma =1\\\\cos^2\alpha +cos^245^\circ +cos^290^\circ =1\\\\cos^2\alpha +\frac{1}{2}+0=1\; \; \to cos^2\alpha =\frac{1}{2}\; ,\; \; cos\alpha =\pm \frac{\sqrt2}{2}\\\\\\cos\alpha =\frac{x}{|\overline {OM}|}=\pm \frac{\sqrt2}{2}\; \; \Rightarrow \; \; \frac{x}{12}=\pm \frac{\sqrt2}{2}\; \; ,\; \; x=\pm 6\sqrt2\\\\cos\beta =\frac{y}{|\overline {OM}|}=\frac{\sqrt2}{2}\; \; ,\; \; \frac{y}{12}=\frac{\sqrt2}{2}\; \; ,\; \; y=6\sqrt2$

$cos\gamma =\frac{z}{|\overline {OM}|}\; \; ,\; \; \frac{z}{12}=0\; \; ,\; \; z=0\\\\M_1(\, \frac{\sqrt2}{2}\, ,\, \frac{\sqrt2}{2}\, ,\, 0)\; \; ,\; \; M_2(-\frac{\sqrt2}{2}\, ,\, \frac{\sqrt2}{2}\, ,\, 0)$