Question

Решить сложные производные

Answer 1

а) Дана функция

$y = \cos(5x)^{ {e}^{x} }$

Запишем выражение в развернутом виде:

$y = {e}^{ ln({ \cos(5x) }^{ {e}^{x} }) }$

Дифференцируем как сложную функцию ( y' = g(x) ):

$g(x) = \frac{d}{dx} ( {e}^{ {e}^{x} ln( \cos(5x) ) } ) \\ g(x) = \frac{d}{dx} ( {e}^{f}) \times \frac{d}{dx} ( ln( \cos(5x) {e}^{x} ) \\ g(x) = {e}^{f} ( - \frac{1}{ \cos(5x) } \times 5 {e}^{x} \sin(5x) + ln( \cos(5x)) {e}^{x} ) \\ g(x) = - 5 {e}^{x} \cos(5x) ^{ {e}^{x} - 1} \sin(5x) + \cos(5x) ^{ {e}^{x} } {e}^{x} ln( \cos(5x) )$

б) Дана функция

$y = 3 ln( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} )$

Дифференцируем как сложную функцию вынеся константу за знак дифференциала ( y' = g(x) ):

$g(x) = 3 \frac{d}{dx} ( ln( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} ) ) \\ g(x) = 3 \frac{d}{dx} ( ln(f) ) \times \frac{d}{dx} ( \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} ) \\ g(x) = \frac{3}{f} ( \frac{1}{2 \sqrt{4 + x} } + \frac{1}{2 \sqrt{1 + x} } ) \\ g(x) = \frac{3}{ \sqrt{4 + x} + \sqrt{1 + x} } \times \frac{ \sqrt{1 + x} + \sqrt{4 + x} }{2 \sqrt{(4 + x)(1 + x)} } \\ g(x) = \frac{3}{2 \sqrt{(4 + x)(1 + x)} } \\ g(x) = \frac{3}{2 \sqrt{ {x}^{2} + 5x + 4} }$

в) И опять дана функция

$y = \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ \cos(x) }$

Дифференцируем используя правило дифференцирования частного ( y' = g(x) ):

$g(x) = \frac{d}{dx} ( \frac{ { \sin(x) }^{2} }{ \cos(x) } ) \\ g(x) = \frac{ \frac{d}{dx}( { \sin(x) }^{2} ) \cos(x) - \frac{d}{dx}( \cos(x)) { \sin(x) }^{2}}{ \cos(x)^{2} } \\ g(x) = \frac{(2 \sin(x) \cos(x) ) \cos(x) - { \sin(x) }^{2} ( - \sin(x)) }{ { \cos(x) }^{2} } \\ g(x) = \frac{ \sin(2x) \cos(x) + { \sin(x) }^{3} }{ { \cos(x) }^{2} }$