Question

Пожалуйста, помогите с этим заданием, нужно определить сколько ответов имеют уравнения или неравенства. срочно!

Answer 1

Первое задание

$9^x+8 \cdot 3^x=9$

Сделаем замену $3^x=y$, при этом $9^x=(3^2)^x=(3^x)^2=y^2$. Получим уравнение:

$y^2+8y=9\\y^2+8y-9=0$

Тут по теореме Виета сразу видно, что первый корень равен единице. Тогда второй корень равен –9.

Вернёмся к исходной переменной:

$3^x=1 \quad \Longrightarrow \quad x=0\\3^x=-9 \quad \Longrightarrow \quad x \in \varnothing$

Ответ: одно решение.

Второе задание

$7^{x^2+x}<49\\7^{x^2+x}<7^2$

Основания степеней больше единицы, поэтому, переходя к неравенству показателйе, знак сохранится:

$x^2+x<2\\x^2+x-2<0$

Приравняем левую часть выражения к нулю, решим через дискриминант и разложим на множители:

$x^2+x-2=0\\D=1^2+4 \cdot 2=9\\\sqrt{D}=3\\x_1=\dfrac{-1+3}{2}=\dfrac{2}{2}=1\\x_2=\dfrac{-1-3}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\\x^2+x-2=(x-1)(x+2)\\(x-1)(x+2)<0$

Применив метод интервалов, получим, что $-2<x<1$. Поскольку неравенство строгое, имеем два целых решения: –1 и 0.

Ответ: два решения.

Третье задание

$\lg (x+2)+\lg(3-x)=\lg(6+x-x^2)$

ОДЗ:

$x>-2, \qquad x<3$

Или $-2<x<3$

Или $-1 \leqslant x \leqslant 2$ (ведь речь о целых числах).

Теперь решим уравнение:

$\lg[(x+2)(3-x)]=\lg(6+x-x^2)\\(x+2)(3-x)=6+x-x^2\\3x+6-x^2-2x=6+x-x^2\\x+6-x^2=6+x-x^2\\0=0$

Решений было бы бесконечное количество, если бы не ОДЗ: под него подпадают только числа –1, 0, 1, 2 (то есть четыре штуки).

Ответ: четыре решения.

Четвёртое задание

$\log_3(7-2x) \leqslant 2\\\log_3(7-2x) \leqslant \log_39$

ОДЗ:

$7-2x>0\\-2x>-7\\2x<7\\x<3{,}5\\x \leqslant 3, \quad x \in \mathbb Z$

Основание логарифма больше единицы, поэтому при переходе к неравенству выражений под логарифмом знак сохранится:

$7-2x \leqslant 9\\-2x\leqslant 2\\-x\leqslant 1\\x \geqslant -1$

Решений было бы бесконечное количество, но с учётом ОДЗ получим: $-1 \leqslant x \leqslant 3$. Здесь решениями будут числа –1, 0, 1, 2, 3.

Ответ: пять решений.