Question

Коло проходить через вершини В,С,D трапеції АВСD(АВ і ВС- основи) і дотикається до сторони АВ у точці В.Доведіть,що ВD2 =ВС•АD .

Answer 1

Задача. Коло проходить через вершини В,С,D трапеції АВСD(АD і ВС- основи) і дотикається до сторони АВ у точці В.Доведіть,що ВD^2 =ВС•АD .

Решение:

По теореме о секущей и касательной: $AB^2=AE\cdot AD$

Из прямоугольного треугольника ABF по т. Пифагора:

$AB^2=BF^2+AF^2$

Аналогично из ΔBFD: $BD^2=BF^2+FD^2$

$BD^2=AB^2-AF^2+FD^2=AE\cdot AD-(AD-FD)^2+FD^2=\\ \\ \\ =AE\cdot AD-AD^2+2AD\cdot FD-FD^2+FD^2=AE\cdot AD-AD^2+2AD\cdot\\ \\ \\ \cdot FD=(AD-2EF-BC)\cdot AD-AD^2+2AD\cdot (BC+EF)=\\ \\ \\ =AD^2-2EF\cdot AD-AD\cdot BC-AD^2+2AD\cdot BC+2EF\cdot AD=\\ \\ \\ =AD\cdot BC$

Что и требовалось доказать.