Question

Вычислите площадь фигуры с помощью определенного интегралла​

Answer 1

Фигура ограничена параболой сверху и осью OX (прямой y=0) снизу (см. рис.). Найдём точки пересечения параболы с OX - они будут пределами интегрирования:

$8x-x^2-7=0\\x^2-8x+7=0\\D=64-4\cdot7=36\\x_{1,2}=\frac{8\pm6}2\\x_1=1,\;x_2=7$

Найдём площадь фигуры:

$S=\int\limits_1^7(8x-x^2-7-0)dx=\int\limits_1^7(8x-x^2-7)dx=\left.\left(4x^2-\frac{x^3}3-7x\right)\right|_1^7=\\\\=(7\cdot49-\frac{343}3-7\cdot7)-(4\cdot1-\frac13-7\cdot1)=294-\frac{343}3+3+\frac13=\\\\=297-\frac{342}3=297-114=183$