Question

Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(15;4) , B(21;10) , C(18;13) и D(12;7) .

Answer 1

Ответ: 36

Объяснение:

1. Если в четырёхугольнике три угла прямые, то это прямоугольник. Проверим этот признак.

$\overrightarrow{AB}=(21-15;10-4)=(6;6)\\ \\ \overrightarrow{BC}=(18-21;13-10)=(-3;3)\\ \\ \overrightarrow{AD}=(12-15;7-4)=(-3;3)\\ \\ \overrightarrow{CD}=(12-18;7-13)=(-6;-6)$

Если скалярное произведение векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны. Найдём тройку скалярных произведений:

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=6\cdot(-3)+6\cdot 3=-18+18=0\\ \\ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=6\cdot(-3)+6\cdot 3=0\\ \\ \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{CD}=-3\cdot(-6)+3\cdot(-6)=18-18=0$

Так как скалярные произведения равны нулю, то углы A, B, D -- прямые, следовательно ABCD -- прямоугольник.

2. Sabcd = AB * BC

Найдём длины AB и BC:

$AB=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{2\cdot36}=6\sqrt{2}\\\\BC=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{2\cdot9}=3\sqrt{2}\\ \\ \\ S_{ABCD}=AB\cdot BC=6\sqrt{2}\cdot3\sqrt{2}=18\cdot2=36$

Answer 2

Ответ: Sabcd=$18\sqrt{2}$

Объяснение:

У прямоугольника длины противоположных сторон равны, нам для того чтобы узнать их длины, надо узнать расстояние между координатами-

формула - AB=корень из (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2  

^2 - скобка во второй степени

итак, нам нужно найти AB, BC, CD, AD -

A(15;4) B(21;10) -

AB=корень из (15-21)^2 + (4-10)^2

AB=$6\sqrt{6}$

B(21;10) C(18;13)

BC=$\sqrt{(21-18)^{2}+(10-13)^{2}  }$

BC=$3\sqrt{2}$

А так как, AB=CD; BC=AD, тоже самое происходит со сторонами CD и AD, просто списать верхние решения

Это доказывает, что если AB=CD,а BC=AD - ABCD является четырехугольником

Sabcd=AB*BC

Sabcd=$3\sqrt{2}$*$6\sqrt{2}$

Sabcd=$18\sqrt{2}$