Question

Для функции f найдите на промежутке I первообразную F, которая приобретает данное значение в указанной точке: f (x) = 2 ^ x, I = (-∞; ∞), F (5) = 1.

Answer 1

$f(x)=2^x, \quad F(5)=1$

Найдём общий вид первообразных:

$F(x)=\displaystyle \int 2^x \, dx=\dfrac{2^x}{\ln 2}+C$

Найдём константу интегрирования:

$F(5)=\dfrac{2^5}{\ln 2}+C=1\\\dfrac{32}{\ln 2}+C=1\\C=1-\dfrac{32}{\ln 2}$

Подставим константу в общий вид первообразной:

$F(x)=\dfrac{2^x}{\ln 2}+1-\dfrac{32}{\ln 2}=\dfrac{2^x-32}{\ln 2}+1$

Ответ: $f(x)=\dfrac{2^x-32}{\ln 2}+1$