Question

ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!!!!!
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке O. Из точки O опустили перпендикуляр OP на сторону AB. Прямая OP пересекает сторону CD в точке Q. Найдите OQ, если AD=2, AB=1 и угол CDB=30°.​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Ре­ше­ние.

а) Углы ∠BDC и ∠BAC равны, так как они опи­ра­ют­ся на одну и ту же дугу BC. Тогда в ΔABE угол ∠ABE = 30° (так как ∠BAC = 60°). Обо­зна­чим точку пе­ре­се­че­ния пря­мой ME со сто­ро­ной AB за K. Тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BKE угол ∠BEK = 60°. Далее, ∠BEK = ∠MED = 60° (как вер­ти­каль­ные). От­сю­да по­лу­ча­ем, что ΔEDM — рав­но­сто­рон­ний (так как все углы по 60°), то есть EM = ED = MD ~ x. Так как в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке CED про­тив угла в 30° лежит катет, в 2 раза мень­ший ги­по­те­ну­зы, то CD = 2x. По­лу­чи­ли, что так как DM = x, точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ги­по­те­ну­зы CD, то есть EM — ме­ди­а­на ΔCED. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: 2¬/15