Question

Помогите, пожалуйста!!! Дам 25 баллов!
Нужно решить неравенство через замену переменной:
$\frac{5}{\sqrt{x + 2} + 4} < 1 - \frac{1}{ \sqrt{x + 2} - 4 }$
​

Answer 1

ОДЗ x≥-2; x≠14

t=√(x+2)+4≥4

√(x+2)-4=t-8

5/t<1-1/(t-8)

5/t<(t-9)/(t-8)

(t-9)/(t-8)-5/t>0

(t^2-14t+40)/(t9t-8))>0

(t-10)(t-4)/(t(t-8))>0

методом интервалов дальше

++(0)---(4)+++(8)---(10)+++

t=(-∞;0)U(4;8)U(10;+∞)

так как t≥4< то

а)√(x+2)+4>4

√(x+2)>0 при x>-2

б)√(x+2)+4<8

√(x+2)<4

x+2<16; -2<x<14

в)√(x+2)+4>10

x+2>36

x>34

учитывая одз

Ответ x=(-2;14)U(34;+∞)

Answer 2

$\frac{5}{\sqrt{x+2}+4}<1-\frac{1}{\sqrt{x+2}-4}\\\\ODZ:\; \left \{ {{\sqrt{x+2}-4\ne 0} \atop {x+2\geq 0\; \; \; }} \right.\; \; \left \{ {{x+2\ne 16} \atop {x\geq -2}} \right.\; \; \left \{ {{x\neq 14} \atop {x\geq -2}} \right.\; \; \Rightarrow \; \; x\in [-2,14)\cup (14,+\infty )\\\\t=\sqrt{x+2}\geq 0\; \; ,\; \; \; \frac{5}{t+4}<1-\frac{1}{t-4}\; \; ,\; \; \; \frac{5}{t+4}+\frac{1}{t-4}-1<0\; ,\\\\\frac{5(t-4)+(t+4)-(t-4)(t+4)}{(t-4)(t+4)}<0\; \; ,\; \; \; \frac{5t-20+t+4-t^2+16}{(t-4)(t+4)}<0\; \; ,$

$\frac{6t-t^2}{(t-4)(t+4)}<0\; \; \to \; \; \; \frac{t^2-6t}{(t-4)(t+4)}>0\; \; ,\; \; \; \frac{t\, (t-6)}{(t-4)(t+4)}\\\\t_1=0\; ;\; \; (t-6)=0\; ,\; t_2=6\; ;\; \; (t-4)=0\; ,\; t_3=4\; \; ;\; \; (t+4)=0\; ,\; t_4=-4\; ;\\\\znaki:\; \; \; +++(-4)---(0)+++(4)---(6)+++\\\\t\in (-\infty ,-4)\cup (0,4)\cup (6,+\infty )\\\\tak\; kak\; \; t\geq 0\; ,\; to\; \; t\in (0,4)\cup (6,+\infty )\; \; \Rightarrow \; \; \left [ {{0<t<4} \atop {t>6\; \; \; }} \right.$

$\left [ {{0<\sqrt{x+2}<4} \atop {\sqrt{x+2}>6\; \; }} \right.\; \; \left [ {{0<x+2<16} \atop {x+2>36}} \right.\; \; \left [ {{-2<x<14} \atop {x>34}} \right. \; \; \Rightarrow \; \; x\in (-2,14)\cup (34,+\infty )\\\\\left \{ {{x\in [-2,14)\cup (14,+\infty )} \atop {x\in (-2,14)\cup (34,+\infty )}} \right.\; \; \Rightarrow \; \; \; x\in (-2,14)\cup (34,+\infty )\\\\Otvet:\; \; x\in (-2,14)\cup (34,+\infty )\; .$