Question

Сумма трех чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 21; если к этим числам прибавить соответственно 2; 3 и 9, то получаются три числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найдите числа, образующие геометрическую прогрессию.
а) найдите вторую член прогрессий
б) найдите разность арифметической прогрессий

Answer 1

Ответ:

второй член прогрессии 7, разность 4

Объяснение:

$a_{n}; \\a_{n+1}= a_{n}+d; \\a_{n+2}= a_{n}+2d;$

тогда по условию

$a_{n}+a_{n+1}+a_{n+2}= a_{n}+a_{n}+d+a_{n}+2d = 3a_{n}+3d=21$

$a_{n}+d=7$

c с другой стороны

$a_{n}+2; a_{n}+d+3; a_{n}+2d+9$

члены геометрической прогрессии, а значит

$(a_{n}+d+3)^{2} =(a_{n}+2)(a_{n}+2d+9)\\a_{n}^{2}+2a_{n}(d+3)+(d+3)^{2}=a_{n}^{2}+a_{n}(2d+9)+2a_{n}+2(2d+9)\\a_{n}(2d+11)-2a_{n}(d+3)=(d+3)^{2}-2(2d+9)\\5a_{n}=d^{2} +2d-9$

подставляем из изначального условия

$(7-d)5=d^{2}+2d-9\\-5d+35=d^{2}+2d-9\\d^{2}+7d-44=0\\\\d_{1} =4;d_{2} =-11;$

так как d>0; d=4

$a_{n}=3$

второй член прогрессии

$a_{n+1}=7$