Question

найдите остаток от деления многочлена
-x^2020+x^2019-x^2018 . . . -x^2+x на многочлен x^3-x

Answer 1

Ответ:

1006

Объяснение:

$-x^{2020}+x^{2019}-x^{2018}+...-x^{2}+x=\\ =x^{2019}(1-x)+x^{2017}(1-x)+x(1-x)=\\=x(1-x)(x^{2018}+x^{2016}+...+x^{2}+1)$

Если n есть чётное (n = 2k) , при k>1

$x^{n}+1 = (x + 1)(x^{n-1} - x^{n-2} +...+ x - 1)$

или же

$x^{n} = (x + 1)(x^{n-1} - x^{n-2} +...+ x - 1)-1$

для n=2 обратная ситуация

$x^{2} = (x + 1)(x-1)+1$

обозначим

$M_{n}=x^{n-1} - x^{n-2} +...+ x - 1$

в результате получим наш многочлен

$x(1-x)(x^{2018}+x^{2016}+...+x^{2}+1)=\\=-x(x-1)(((x+1)M_{2018}-1)+((x+1)M_{2016}-1)+...+((x+1)M_{4}-1)+((x+1)(x-1)+1)+1)=\\=-x(x-1)((x+1)M_{2018}+(x+1)M_{2016}+...+(x+1)M_{4}+(x+1)(x-1)+(-1)\frac{2018-2}{2} +1+1)=\\=x(x-1)(-(x+1)(M_{2018}+M_{2016}+...+M_{4}+(x-1))+1006)$