Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра `a` ({x}- дробная часть числа `a`): a+{x}=sqrt(2x-x^2). С графиком пожалуйста и подробным объяснением
Ответы
Задание врагу не пожелаешь) Не приведи господь его на экзамене.
Что такое вообще дробная часть числа ? Это кусочно-разрывная функция. Множество её значений лежит от 0 до 1, причем так:
. И состоит она из кусков прямых
, при этом
. (Имею в виду, что эти прямые (их бесконечно много) по факту находятся на расстоянии 1 друг от друга, но все отрезаются по
просто). При этом прямая снизу обрывается при
, но без разрыва, а при
- сверху и с разрывом, то есть у графика будет бесконечное число выколотых точек вида
,
.
С этим более-менее разобрались, идем дальше. - описанная выше функция просто переносится по оси OY на
единиц (при
вверх, при
вниз).
Теперь по правой части. Тут попроще.
Пусть у нас
Возведем в квадрат, да поделаем кое-что:
А это ни что иное, как уравнение окружности с центром в радиусом 1. Но так как у нас в условии корень, да с "+", то это верхняя полуокружность.
А теперь начинается самое веселье. Построим график полуокружности и начнем исследовать положение нашей кусочно-разрывной функции относительно этой полуокружности. Сразу отметим, что все, что находится в левой полуплоскости (левее ОY), нам не нужно (это видно по графику полуокружности), поэтому исследуем только правые "кусочки".
Будем исследовать каждый кусочек отдельно, при этом уже третий кусочек нам нужен только в случае , там будет 1 пересечение (1 корень), в остальных случаях пересечений не будет.
Исследуем второй кусочек:
При видно, что пересечений точно нет, при
крайняя точка - как раз точка "разрыва", поэтому пересечений не будет, далее будет 1 пересечение, пока левая граница "кусочка" не выйдет из-за полуокружности, это будет при
, при этом в нем нет разрыва, поэтому при
пересечение ещё будет, поэтому имеем:
при 0 корней, при
- 1 корень
Теперь исследуем первый кусочек, он самый неприятный. Видно, что прямая может иметь с частью полуокружности 0,1 или 2 общие точки. При точек будет 1, потому что это только на левом конце прямой, на правом там разрыв.
Далее до некоторого будет 2 точки пересечения, при
(это значения параметра, при котором первый кусочек будет касаться полуокружности) будет 1 точка пересечения, при
будет 0 точек пересечения. Найдем это
Так как касательных к окружности может быть две, но одна из них к нижней части полуокружности, которой у нас вообще нет, то остается лишь 1 касательная, которую мы и ищем фактически (но когда мы найдем, их окажется 2 как раз из-за окружности, поэтому надо будет взять верхнюю, то есть у которой значение a больше, дальше увидим).
Далее вспомним, что у 1-го кусочка прямая задается как , у 2-го кусочка
, у 3-его
, а так как мы ищем пересечение как раз 1-го кусочка с полуокружностью, то здесь опустим как раз дробную часть и сможем нормально решить уравнение.
Сразу говорю, у нас получится квадратное уравнение, нам нужно единственное решение, это значит, что .
Вот как раз эти два значения, берем верхнее, то есть большее
Теперь как-то структурируем ответ
При решений 0.
При будет 1 решение с 2-го кусочка.
При будет 1 решение с 1-го кусочка, 1 решение со 2-го и 1 решение с 3-его,то есть 3 решения.
При будет 2 решения с 1-го кусочка и 1 решение с 1-го кусочка, то есть 3 решения.
При будет 1 решение с 1-его кусочка и 1 решение со 2-го, то есть 2 решения.
При будет только 1 решение со 2-го кусочка
При будет 0 решений.
Объединяя все сказанное, получаем, что:
при 0 решений,
при 1 решение,
при 2 решения,
при 3 решения
P.S. К сожалению, наделать миллион графиков не так просто, функция уж больно необычная, особенно для параметра) Надеюсь, что решение более-менее понятно
![](https://st.uroker.com/files/1ae/1aedb46aa6fb029e0eda54c10b7f16ce.png)
![](https://st.uroker.com/files/c42/c422de0257319f7eb8a4e81c99a001b2.png)