Question

Докажите, что при положительных значениях
х и у (x≠y) значение дроби
$\frac{ {x}^{2} - {y}^{2} }{x - y}$
больше соответственного
значения дроби
$\frac{ {x}^{2} + {y}^{2} }{x + y}$
​

Answer 1

Ответ:

Вычтем из первой дроби вторую и преобразуем выражение.

$\frac{x^2-y^2}{x-y} - \frac{x^2 + y^2}{x + y} = \frac{(x^2 - y^2)*(x+y) - (x^2+y^2)*(x-y)}{(x-y)*(x+y) } =$

$\frac{x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 - x^3 + x^2y - xy^2 + y^3}{(x-y)*(x+y)} = \frac{2xy(x-y)}{(x-y)*(x+y)} = \frac{2xy}{x+y} > 0$ для всех положительных x, y. Поэтому первая дробь больше второй, ч. т. д.