Question

20 БАЛЛОв

найдите решение уравнения на указанном интервале

sin5x+cos4x=0, 270°< х <360°

Answer 1

Пользуясь тригонометрическими формулами перехода от суммы к произведению, мы получим

$\sin 5x+\sin \left(\dfrac{\pi}{2}-4x\right)=0\\ \\ 2\sin \dfrac{5x+\frac{\pi}{2}-4x}{2}\cos\dfrac{5x-\frac{\pi}{2}+4x}{2}=0\\ \\ 2\sin\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot \cos \left(\dfrac{9x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю.

$\sin \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\ \\ \dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}=\pi k,k \in \mathbb{Z}~~~~~\Rightarrow~~~~ x_1=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \cos \left(\dfrac{9x}{2}-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\ \\ \dfrac{9x}{2}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~~\Rightarrow~~~~~x_2=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{2\pi n}{9},n \in \mathbb{Z}$

Корни, удовлетворяющие интервалу $270^\circ <x<360^\circ$:

$\dfrac{31\pi}{18},\dfrac{35\pi}{18}$

Ответ: $\dfrac{31\pi}{18},~\dfrac{35\pi}{18}.$