Question

cos5x+cosx+2cos3x=0​

Answer 1

$\cos 5x+\cos x+2\cos 3x=0\\ \\ 2\cos\dfrac{5x+x}{2}\cdot \cos\dfrac{5x-x}{2}+2\cos 3x=0\\ \\ 2\cos 3x\cos 2x+2\cos 3x=0\\ \\ 2\cos 3x(\cos 2x+1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

$\cos 3x=0\\ \\ 3x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~~\Rightarrow~~~ \boxed{x_1=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},n \in \mathbb{Z}}\\ \\ \\ \cos 2x+1=0\\ \\ \cos 2x=-1\\ \\ 2x=\pi +2\pi n,n \in \mathbb{Z}~~~~~\Rightarrow~~~~ \boxed{x_2=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$