Question

У числа 100! = 1.2.....99. 100 посчитали сумму цифр,
у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до
тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это
за число?

Answer 1

Для любого натурального числа A $A\equiv s(A)(mod\: 9)$, где $s(A)$ - сумма цифр числа A.

И правда: $A=\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}=a_n*10^n+...+a_1*10^1+a_0*10^0=a_n*(9+1)^n+...+a_1*(9+1)^1+a_0*(9+1)^0\equiv a_n+a_{n-1}+...+a_1+a_0(mod\:9)$

А тогда $A\equiv s(A)\equiv s(s(A))\equiv s(....s(s(A))...)(mod\:9)$

Т.к. $100!=1*2*...*9*...*100\equiv 0(mod\:9)$, то $s(100!)\equiv 0 (mod\:9)$

Единственное подходящее однозначное число, сравнимое с 0 по модулю 9 и входящее в множество значений функции $s(x)$, - это 9 (вариант с 0 не подходит, т.к. единственное число, сумма цифр которого равна 0 - это 0).

А значит и в конце получили число 9.

________________________________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю