Question

найдите все значения b ,при которых уравнение:
9^x+(b^2+6)3^x-b^2+16=0 не имеет корней

Answer 1

Выполним замену $3^x=t$ причем $t>0.$ Получаем

$t^2+(b^2+6)t-b^2+16=0$

Дискриминант квадратного уравнения:

$(b^2+6)^2-4(16-b^2)=b^4+12b^2+36-64+4b^2=b^4+16b^2-36$

Если D < 0, то квадратное уравнение корней не имеет. , т.е.

$b^4+16b^2-36<0\\ \\ (b^4+16b^2+64)-100<0\\ \\ (b^2+8)^2<100$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству

$-10<b^2+8<10~~~\big|-8\\ \\ -18<b^2<2\\ \\ b^2<2\\ \\ -\sqrt{2}<b<\sqrt{2}$

При $b \in \Big(-\sqrt{2};\sqrt{2}\Big)$ данное уравнение корней не будет иметь.

Теперь рассмотрим случай когда квадратное уравнение относительно t имеет корни, т.е. $b \notin\Big(-\sqrt{2};\sqrt{2}\Big)$, то нам нужны отрицательные корни, поскольку при замене $3^x=t$ это уравнение не будет иметь корень. По теореме Виета имеем:

$t_1+t_2=-b^2-6<0~~~~\Rightarrow~~~~ b \in \mathbb{R}\\ \\ t_1\cdot t_2=16-b^2>0~~~~\Rightarrow~~~ -4<b<4$

С учетом существования корней имеем $b \in (-4;4)$

Ответ: при $b \in (-4;4)$