Question

Из круглого бревна диаметра d надо вырезать балку прямоугольного сечения с основанием a и высотой h ( рисунок указан ниже). При каких значениях a и h прочность балки будет наибольшей, если известно, что прочность балки пропорциональна ah^2?

Answer 1

связь a и h

a^2+h^2=d^2

h^2=d^2-a^2

тогда p(a)=ah^2=a(d^2-a^2)=ad^2-a^3  (d=const)

экстремальные значения р(а) через производную

p`(a)=d^2-3a^2=0

d^2=3a^2

a=d/√3

h=√(d^2-a^2)=√(d^2-d^2/3)=√(2d^2/3)=d√(2/3)

h=d√(2/3)

p=ah^2=d/√3*d^2*2/3=2d^3/(3√3)-наибольшая прочность пропорциональна этой величине