Question

Найдите объем тела...

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Найдем точки пересечения графиков y = x³ и  y = 4x

$\[\left\{\begin{gathered}y=4x\hfill\\y={x^3}\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{x^3}=4x\hfill\\y={x^3}\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{x^2}=4\hfill\\y={x^3}\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{x_1}=2,{x_2}=-2\hfill\\{y_1}=8,{y_2}=-8\hfill\\\end{gathered}\right.\]$

Графики функций пересекаются в точках (2; 8) и (-2; -8)

Для того, чтобы получить объем фигуры ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

$\displaystyle \[V={V_1}-{V_2}=\pi\int\limits_a^b{f{{(x)}^2}-g{{(x)}^2}dx}\]$

Так как по условию x ≥ 0, то a = 0, b = x₁ = 2

$\[\begin{gathered}f(x)=4x\hfill\\g(x)={x^3}\hfill\\\end{gathered}\]$

$\displaystyle \[{V_1}=\pi\int\limits_0^2{{{(4x)}^2}dx=\pi\int\limits_0^2{16{x^2}dx=16\pi\cdot\frac{{{x^3}}}{3}}\mathop|\limits_0^2=16\pi\cdot\frac{{{2^3}}}{3}-}16\pi\cdot\frac{{{0^3}}}{3}=\frac{{128\pi}}{3}\]$

$\displaystyle\[{V_2}=\pi\int\limits_0^2{{{\left({{x^3}}\right)}^2}dx=\pi\int\limits_0^2{{x^6}dx=\pi\cdot\frac{{{x^7}}}{7}}\mathop|\limits_0^2}=\pi\cdot\frac{{{2^7}}}{7}-\pi\cdot\frac{{{0^7}}}{7}=\frac{{128\pi}}{7}\]$

$\displaystyle\[V=\frac{{128\pi}}{3}-\frac{{128\pi}}{7}=\boxed{\frac{{512}}{{21}}\pi}\]$