Question

Партия деталей была изготовлена цехом в течение нескольких дней, причем каждый день изготовлялось одно и то же число деталей. Когда треть продукции одного дня была упакована в ящики, то в каждом ящике оказалось столько деталей, сколько ящиков понадобилось для упаковки, причем число ящиков равно числу дней работы цеха. После отсылки половины всех деталей заказчикам выяснилось, что куб числа заказчиков был равен числу деталей, высланных каждому из заказчиков. Какое минимальное число деталей мог при этих условиях изготовить цех?

Answer 1

Ответ:

41472

Пошаговое объяснение:

Пусть d - количество дней, c - количество деталей в день, b - количество заказчиков.

1 условие: "Когда треть продукции одного дня была упакована в ящики, то в каждом ящике оказалось столько деталей, сколько ящиков понадобилось для упаковки, причем число ящиков равно числу дней работы цеха. "

Треть продукции одного дня = c/3.

Число упакованных ящиков = числу деталей в ящике = числу дней работы цеха = d.

Получается, что упаковали d*d=d² деталей. Тогда c/3=d² или c=3d².

2 условие: "После отсылки половины всех деталей заказчикам выяснилось, что куб числа заказчиков был равен числу деталей, высланных каждому из заказчиков."

Половина всех деталей = cd/2

Куб числа заказчиков = b³

Число деталей, высланных каждому (в предположении, что оно одинаковое для каждого заказчика) = cd/2/b=cd/(2b).

Тогда $cd/(2b)=b^3$ или $cd=2b^4$.

Требуется найти минимальное положительное значение cd.

В выражение $cd=2b^4$ вместо c подставим 3d². Тогда:

$3d^3=2b^4$

Требуется найти минимальное положительное решение этого уравнения. Заметим, что левая часть делится на 3, а правая на 2. Значит, каждая из частей должна делиться и на 2, и на 3. Тогда d и b можно представить в виде произведения степеней чисел 2 и 3 (другие множители нет смысла рассматривать, так как мы минимизируем ответ).

Пусть $d=2^p*3^q,b=2^u*3^v$.

Тогда левая часть равна:

$3d^3=3*(2^p*3^q)^3=2^{3p}*3^{3q+1}$

Правая часть равна:

$2b^4=2*(2^u*3^v)^4=2^{4u+1}*3^{4v}$

Согласно основной теореме арифметики, разложение числа на простые множители единственно. Поэтому можно приравнять соответствующие степени левой и правой частей равенства.

$\left \{ {{3p=4u+1}, \atop {3q+1=4v}} \right.$

Легко подобрать минимальные подходящие решения:

p = 3, u = 2,

q = 1, v = 1.

Отсюда получим, что

$d=2^p*3^q=2^3*3^1=24,\\b=2^u*3^v=2^2*3^1=12,\\c=3*d^2=3*24^2=1728,\\cd=1728*24=41472$