Question

найдите значение параметра m при которых уравнение $x^{2} +2(m-1)x+4m-7=0$ имеет 2 отрицательных корня

Answer 1

Дискриминант квадратного уравнения:

$D=4(m-1)^2-4(4m-7)=4m^2-24m+32$

Квадратное уравнение имеет два различных корня, если D > 0

$4m^2-24m+32>0~~~~\Big|:4\\ m^2-6m+8>0\\ \\ (m-2)(m-4)>0$

При $m \in (-\infty;2)\cup(4;+\infty).$ квадратное уравнение имеет два различных корня. Теперь нужно найти те параметры m, при которых оба корня данного уравнения являются отрицательными. Т.е. по теореме Виета:

$x_1+x_2=-2(m-1)<0\\ x_1\cdot x_2=4m-7>0$

Решаем систему двух неравенств

$\displaystyle \left \{ {{-2(m-1)<0} \atop {4m-7>0}} \right.~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{m-1>0} \atop {4m-7>0}} \right.~~~~\Rightarrow~~~\left \{ {{m>1} \atop {m>\dfrac{7}{4}}} \right.~~\Rightarrow~~~m>\frac{7}{4}$

С учетом существования корней, получаем $m \in \left(\frac{7}{4};2\right)\cup\left(4;+\infty\right)$

Ответ: $m \in \left(\frac{7}{4};2\right)\cup\left(4;+\infty\right)$