Question

Решите уравнение, используя способ замены переменной
$(x^{2}-x)^{2}-9(x^{2} -x)+14=0$

Answer 1

Уравнение уже написано в таком виде, что легко увидеть, что, собственно, заменять надо.

$t=x^2-x \Rightarrow t^2-9t+14=0;$

Тут корни видны невооруженным глазом, по теореме Виета

$\left \{ {{t_1+t_2=9} \atop {t_1\cdot t_2=14}} \right.$, сумма чисел 9, произведение 14, это корни 2 и 7.

$\left [ {{t_1=2} \atop {t_2=7}} \right. \Rightarrow \left [ {{x^2-x=2} \atop {x^2-x=7}} \right.  \Rightarrow \left [ {{x^2-x-2=0 \ \ (1)} \atop {x^2-x-7=0 \ \ (2)}} \right.$

Решаем 1-е уравнение совокупности:

$x^2-x-2=0$

$b=a+c \ (-1=1-2) \Rightarrow \left [ {{x=-1} \atop {x=-\frac{c}{a}=-\frac{-2}{1}=2  }} \right.$

Решаем 2-е уравнение совокупности:

$x^2-x-7=0$

Тут уже ничего не поделаешь, надо взять по старинке через дискриминант.

$D=(-1)^2-4\cdot 1 \cdot (-7)=1+28=29 \Rightarrow x_{3,4}=\frac{1\pm \sqrt{29} }{2}$

Вот и все наши 4 корни, пишем их в ответ (упорядочивать необязательно, запишем в том порядке, как их получали)

Ответ: $\boxed{-1; 2; \frac{1\pm \sqrt{29}}{2} }$