Question

Доказать, что число (√3-√2)²⁰¹⁰ можно представить в виде a√3-b√2, где a и b - такие числа, что 3a²-2b²=1. Если есть какие-либо идеи решения, прошу поделиться.

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Идея - мат. индукция.

Рассмотрим выражение (√3-√2)¹=√3-√2. В нём можно выделить a=1, b=1. Выражение 3a²-2b²=3*1²-2*1²=1 справедливо.

Пусть для некоторого n=k > 1 справедливо то, что $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^k=a\sqrt{3}-b\sqrt{2}$ такие, что 3a²-2b²=1. Докажем, что это свойство выполняется и для n=k+1.

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{k+1}=(\sqrt{3}-\sqrt{2})^k*(\sqrt{3}-\sqrt{2})=(a\sqrt{3}-b\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=3a-b\sqrt{6}-a\sqrt{6}+2b=(3a+2b)-\sqrt{6}(a+b)=\sqrt{3}(\sqrt{3}a+\frac{2}{\sqrt{3}}b)-\sqrt{2}(\sqrt{3}a+\sqrt{3}b)$

Новые a и b в этом выражении равны соответственно $a'=\sqrt{3}a+\frac{2}{\sqrt{3}}b$ и $b'=\sqrt{3}a+\sqrt{3}b$.

Тогда $3(a')^2-2(b')^2=3(\sqrt{3}a+\frac{2}{\sqrt{3}}b)^2-2(\sqrt{3}a+\sqrt{3}b)^2=3(3a^2+4ab+4b^2/3)-2(3a^2+6ab+3b^2)=9a^2+12ab+4b^2-6a^2-12ab-6b^2=3a^2-2b^2$. А поскольку известно, что  $3a^2-2b^2=1$, то и $3(a')^2-2(b')^2=1$, что и требовалось доказать.

Таким образом, это справедливо и для n=2010.