Question

Помогите пожалуйста)​

Answer 1

5. Представим эти выражения в виде функций:

$1) \ y = 5x - 3x^{2}$

Это парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент перед $x^{2} < 0$), значит, наибольшим ее значением будет вершина параболы:

$x_{0} = \dfrac{-5}{2 \cdot (-3)} = \dfrac{5}{6}$

Значит, при $x = \dfrac{5}{6}$ выражение $5x - 3x^{2} = 5 \cdot \dfrac{5}{6} - 3 \cdot \dfrac{25}{36} = \dfrac{25}{12}$

Ответ: $\dfrac{25}{12}$

$2) \ y = \dfrac{3}{2x^{2} + 3x + 4}$

Что мы видим? Число 3 делиться на квадратный трехчлен. Чем меньше знаменатель, тем больше значение выражения. Значит, мы должны найти наименьшее значение $2x^{2} + 3x + 4 > 0$.

Дискриминант этого выражения меньше нуля, значит, наименьшим значением данной функции будет ее вершина:

$x_{0} = \dfrac{-3}{2 \cdot 2} = -\dfrac{3}{4}$

Значит, при $x = -\dfrac{3}{4}$ выражение $\dfrac{3}{2 \cdot \dfrac{9}{16} - 3 \cdot \dfrac{3}{4} + 4} = \dfrac{24}{23}$

Ответ: $x = \dfrac{24}{23}$

$6. \ x^{2} + 2x - \sqrt{3} = 0\\D = 4 + 4\sqrt{3} = 4(1 + \sqrt{3} )\\x_{1} = \dfrac{-2 + 2\sqrt{1 + \sqrt{3} } }{2} = -1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} }\\x_{2} = \dfrac{-2 - 2\sqrt{1 + \sqrt{3} } }{2} = -1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} }$

$1) \ x_{1} \cdot x_{2}^{2} + x_{2} \cdot x_{1}^{2} = \\(-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} }) (-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} + (-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} })(-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} = \\= (1 - (1 + \sqrt{3}))(-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} }) + (1 - (1 + \sqrt{3}))(-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} }) = \\= -\sqrt{3}(-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} }) - \sqrt{3}(-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} }) = \\= - \sqrt{3}(-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3}} - 1 + \sqrt{1 + \sqrt{3}}) = 2\sqrt{3}$

$2) \ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} + (-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} = \\= 1 - 2\sqrt{1 + \sqrt{3} } + 1 + \sqrt{3} + 1 +2\sqrt{1 + \sqrt{3} } + \sqrt{3} + 1 =\\= 4 + 2\sqrt{3}$

$3) \dfrac{x_{1}}{x_{2}} + \dfrac{x_{2}}{x_{1}} = \dfrac{-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} }}{-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} }} + \dfrac{-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} }}{-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} }} = \\= \dfrac{(-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} + (-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2}}{(-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} })(-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} })} = \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{-\sqrt{3} }$

$4) \ x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (-1 + \sqrt{1 + \sqrt{3} })^{3} + (-1 - \sqrt{1 + \sqrt{3} })^{3} =\\= [(-1)^{3} + 3(-1)^{2}\sqrt{1 + \sqrt{3} } + 3(-1)(\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} + (\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{3}] + \\+ [(-1)^{3} - 3(-1)^{2}\sqrt{1 + \sqrt{3} } + 3(-1)(\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} - (\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{3}] =\\= -1 + 3\sqrt{1 + \sqrt{3} } -3(\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} + (\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{3} - 1 - 3\sqrt{1 + \sqrt{3} } - \\- 3(\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} - (\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{3} =$

$= -2 - 6(\sqrt{1 + \sqrt{3} })^{2} = -2 - 6(1 + \sqrt{3}) = -8 - 6\sqrt{3}$