Question

Решите пожалуйста все!!!!

Answer 1

(1.) $(2x^{\frac{23}{3}} : 2x^{\frac{5}{3}})^{\frac{1}{3}}$

Для начала необходимо совершить действия в скобках. По свойствам степеней (учитывая, что показатели равны) мы находим разность степеней. ($a^{m}:a^{n} = a^{m-n}$)

1) $\frac{23}{3} - \frac{5}{3} = \frac{18}{3}$

теперь выражение приняло такой вид: $(2^{\frac{18}{3}})^{\frac{1}{3}}$

Здесь действует ещё одно свойство степеней: $(a^m)^n=a^{m*n}$

Соответственно перемножаем степени:

2) $\frac{18}{3} * \frac{1}{3} = \frac{18}{9} => 2$

Теперь выражение приняло следующий вид: $2^2$, возводим в квадрат и получаем 4. Ответ: 4.

(2.) $\sqrt[4]{125} * \sqrt[4]{5}$

Так как степень корня равны и между двумя корнями стоит знак умножения, мы в праве возвести всё в один корень и получить следующий вид: $\sqrt[4]{125*5}$

Соответственно, умножаем 125 * 5 и получаем 625. Надо учитывать, что 125 это степень числа 5. $5x^{3} = 125$, а $5^4 =625$.

Короче говоря, чтобы окончательно избавится от корня, нам необходимо представить число 625, как $5^4$ и тогда мы сможем сократить степени корня и числа, и в итоге получить 5. Ответ: 5.

(3.) $log_{4} 24-log_{4} 1,5$

Мы видим, что основания логарифмов равны, соответственно, мы можем использовать следующее свойство логарифмов для решения уравнения: $log_{a} b-log_{a}c = log_{a}\frac{b}{c}$

Вы итоге получим: $log_{4} \frac{24}{1,5}$

Для того, чтобы было удобнее вычислять, запишем дробь $\frac{24}{1,5}$ отдельно:

$\frac{24}{1,5}  = 24 : 1,5 = \frac{24}{1} : \frac{15}{10} = \frac{24*10}{15} = 16$

Теперь подставляем заместо $\frac{24}{1,5}$ число 16:

$log_{4}16 = log_{4}4^2 = 2log_{4}4=2$. Ответ: 2.

(4.) $\sqrt{4x-3} = x$

Чтобы избавиться от корня необходимо всё возвести в квадрат, мы возводим в квадрат и левую и правую часть уравнения.

$(\sqrt{4x-3})^2 = (x)^2$

$4x-3=x^2$ (т.к. есть x в квадрате переносим всё в одну сторону)

$-x^2+4x-3=0$ теперь делим всё на -1 (можно и не делить на -1, ответ не изменится, делается для удобства)

$x^2-4x+3=0\\D=(-4)^2-4*1*3=16+12=\sqrt{4}=2\\x_{1}=\frac{-4+2}{2}=-1\\x_{1}=\frac{-4-2}{2}=-3$

Ответ: -1;-3.

(5.) $(\frac{1}{3} )^{2-3x}>81$

Нам нужно получить одинаковые показатели, чтобы в дальнейшем их отбросить и приравнять степени, для этого 81 представим в виде:

$(\frac{1}{3} )^{2-3x}>(\frac{1}{3})^{-4}$

Теперь можно отбросить показатели и получить:

$2-3x>-4\\-3x>-4-2\\-3x>-6\\x<2$

Ответ: 2. Или, если нужен промежуток: (-∞;2)

(6.) $log_{2}(x^2+7x)=3$

Находим область допустимых значений (ОДЗ):

$\left \{ {{x^2+7x>0}} \right.$

$x^2+7x>0\\x(x+7)>0\\x>0\\x+7>0\\x>-7$

Т.е. ОДЗ = (0;+∞)

Решаем уравнение и находим подходящие под ОДЗ корни:

$log_{2}(x^2+7x)=3$

$log_{2}(x^2+7x)=log_{2}2^3\\x^2+7x=8\\x^2+7x-8=0D=81\\x_{1}=1\\x_{2}=-4$

Учитывая ОДЗ, нам подходит точка 1, точка 4 ⊄ ОДЗ,

Ответ: 1.