Question

Докажите что для произвольных чисел а и b выполняется неравенство (а^2+b)(1/a+1/b^2)≥4√(a/b)

Answer 1

Для положительных a , b применим неравенство Коши

$a^2+b\geq 2a\sqrt{b}\\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^2}\geq 2\cdot \dfrac{1}{b\sqrt{a}}$

Перемножив эти неравенства, получим

$(a^2+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b^2}\right)\geq 2a\sqrt{b}\cdot2\cdot \dfrac{1}{b\sqrt{a}}=4\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

Для отрицательных это неверно. Можно было сразу контр-пример привести: a = b = -1, то неравенство будет 0 ≥ 4, что неверно. Поэтому ваше утверждение "для произвольных a и b" - ложно.