Question

Найти площадь фигуры ограниченной линиями.
y=x^2-x , y=3x

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдем точки пересечения параболы y = x² - x и прямой y = 3x

$\[\left\{\begin{gathered}y={x^2}-x\hfill\\y=3x\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{x^2}-x=3x\hfill\\y=3x\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{x^2}-4x=0\hfill\\y=3x\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}x(x-4)=0\hfill\\ y=3x\hfill\\\end{gathered}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{gathered}{x_1}=0,{x_2}=4\hfill\\{y_1}=0,{y_2}=12\hfill\\\end{gathered}\right.\]$

Парабола и прямая пересекаются в точках (0; 0) и (4; 12)

Для того, чтобы получить площадь фигуры ограниченной линиями, необходимо вычислить определенный интеграл вида:

$\displaystyle\[\int\limits_a^b{\left({f(x)-g(x)}\right)}dx\]$

где a = x₁, b = x₂

$\[\begin{gathered}f(x)=3x\hfill\\g(x)={x^2}-x\hfill\\\end{gathered}\]$

$\displaystyle \[\int\limits_0^4{3xdx-\int\limits_0^4{({x^2}-x)dx}}=24-\frac{{40}}{3}=\boxed{\frac{{32}}{3}}\]$

$\displaystyle \[\int\limits_0^4{3xdx=3\cdot\frac{{{x^2}}}{2}\mathop|\limits_0^4=}3\cdot\frac{{{4^2}}}{2}-3\cdot\frac{{{0^2}}}{2}=3\cdot8-0=24\]$

$\displaystyle \[\int\limits_0^4{({x^2}-x)dx=\left({\frac{{{x^3}}}{3}-\frac{{{x^2}}}{2}}\right)}\mathop|\limits_0^4=\left({\frac{{{4^3}}}{3}-\frac{{{0^3}}}{3}}\right)-\left({\frac{{{4^2}}}{2}-\frac{{{0^2}}}{2}}\right)=\frac{{64}}{3}-\frac{{16}}{2}=\frac{{40}}{3}\]$