Question

Частица движется по замкнутой траектории в центральном силовом поле, где её потенциальная энергия U = kr², где k - положительная постоянная, r - расстояние от частицы до центра поля О. Найдите массу частицы, если наименьшее расстояние её до точки O равно r1, а скорость на наибольшем расстоянии от этой точки - v2.

Answer 1

Ответ:

$m = \frac{2*k*r1^{2} }{v2^{2} }$

Объяснение:

Момент силы со стороны поля на частицу относительно центра поля О равен нулю, поэтому относительно центра О момент импульса частицы будет постоянен, причём в точках максимального и минимального удаления вектор скорости частицы будет перпендикулярен радиус-вектору, проведенного к этой частице из точки О, т.к. в этих точках частица ни отдаляется, ни приближается к точке О.

Поэтому L1 = L2 => m*v1τ*r1 = m*v2τ*r2 => m*v1*r1 = m*v2*r2

Отсюда v1 = v2 * r2/r1

По закону сохранения энергии в потенциальном поле:

m*v1²/2 + k*r1² = m*v2²/2 + k*r2²

m/2*(v1² - v2²) = k * (r2² - r1²)

Подставим v1 в последнее  выражение:

$\frac{m}{2}* (v2^{2} *\frac{r2^{2} }{r1^{2} }  - v2^{2}) = k * (r2^{2} - r1^{2}   )\\\frac{m*v2^{2}}{2}* (\frac{r2^{2} }{r1^{2} }  - 1) = k * (r2^{2} - r1^{2}   )\\\frac{m*v2^{2}}{2}* \frac{r2^{2} - r1^{2}  }{r1^{2} }  = k * (r2^{2} - r1^{2}   )\\\frac{m*v2^{2}}{2*r1^{2} }  = k\\\\m = \frac{2*k*r1^{2} }{v2^{2} }$