Question

найдите наименьшее и наибольшее значения функции y=2sinx-3cos²x+1 ответ y наим= -2 ⅓ и y наиб=3​

Answer 1

$y=2\sin x-3\cos^2x+1=2\sin x-3(1-\sin^2x)+1=\\ \\ =2\sin x-3+3\sin^2x+1=3\sin^2x+2\sin x-2=3\left(\sin x+\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{7}{3}$

Функция y = sinx изменяется в пределах от -1 до 1. Оценим в виде двойного неравенства

$-1\leq\sin x\leq1~~~\bigg|+\dfrac{1}{3}\\ \\ -\dfrac{2}{3}\leq \sin x+\dfrac{1}{3}\leq \dfrac{4}{3}$

Возведя до квадрата, получим

$0\leq \left(\sin x+\dfrac{1}{3}\right)^2\leq \dfrac{16}{9}~~~~\bigg|\cdot 3\\ \\ 0\leq 3\left(\sin x+\dfrac{1}{3}\right)^2\leq \dfrac{16}{3}~~~~~~\bigg|-\dfrac{7}{3}\\ \\ \\ -\dfrac{7}{3}\leq 3\left(\sin x+\dfrac{1}{3}\right)^2-\dfrac{7}{3}\leq 3$

Отсюда наименьшее значение функции $y_{\min}=-\dfrac{7}{3}=-2\dfrac{1}{3}$, а наибольшее значение функции - $y_{\max}=3$