Question

Найдите эквивалентное сопротивление Rbc

Answer 1

Ответ:

$R_{BC} = \frac{27}{7}$  Ом  $\approx 3.86$  Ом.

Объяснение:

$R_5 < R_4$  , и значит, в А потенциал ближе к B, чем к С, и в то же время  $R_3 > R_2$  , а значит, в центре потенциал ближе к C, чем к B. Т.е. в А потенциал выше, чем в центре, а значит, из A в центр течёт положительный ток.

Пусть через  $R_1$  течёт  $I_1 = i$  .

Пусть через  $R_5$  течёт  $I_5 = x$  , тогда через    $R_4$  течёт  $I_4 = x - i$  .

Все дальнейшие выкладки ведутся в системе СИ, в вольтах, амперах и омах, без постоянного их упоминания.

А общее падение напряжения от B к C через A составит:

$U = R_5 I_5 + R_4 I_4 = 12x + 24(x-i)$  ;

Пусть через  $R_3$  течёт  $I_3 = y$  , тогда через    $R_2$  течёт  $I_2 = y + i$  .

А общее падение напряжения от B к C через центр составит:

$U = R_3 I_3 + R_2 I_2 = 6y + 3(y+i)$  ;

Получаем уравнение:

$U = 12x + 24(x-i) = 6y + 3(y+i)$  ;

$36x - 24i = 9y + 3i$  ;

$36x - 9y = 27i$  ;

(*)  $4x - y = 3i$  ;

На  $R_5$  падает напряжение  $R_5 I_5 = 12x$  ;

На  $R_3$  падает напряжение  $R_3 I_3 = 6y$  ;

При этом понятно, что на $R_3$  падение напряжение больше (в центре более низкий потенциал, чем в А) на величину  $R_1 I_1 = 2i$

Отсюда получаем второе уравнение:  $12x + 2i = 6y$  ;

(**)  $6x - 3y = -i$  ;

Решаем систему, вычитая из утроенного (*) одно (**):

$6x = 10i$  ;

$x = \frac{5}{3}i$  ;

$y = 4x-3i = \frac{11}{3}i$  , из (*);

Общее падение напряжения от B к C составляет:

$U = R_5 I_5 + R_4 I_4 = 12x + 24(x-i) = 36x-24i = 36i$  ;

Из точки B вытекают токи $x , y$  и ещё ток  $I_6 = \frac{U}{R_6} = \frac{36i}{9} = 4i$  ;

Общий ток из B в C:

$I = I_5 + I_3 + I_6 = x + y + I_6 = \frac{5}{3}i + \frac{11}{3}i + 4i = \frac{28}{3}i$  ;

Полное сопротивление цепи составит:

$R_{BC} = \frac{U}{I} = 36i \Big/ \frac{28}{3}i = 36i \cdot \frac{3}{28i} = 9 \cdot \frac{3}{7} = \frac{27}{7}$  ;

$R_{BC} = \frac{27}{7}$  Ом.

* Если бы ток  $i$  был направлен в другую сторону, то оказалось бы, что  $i<0$  , тогда общий ток  $I$  должен был бы выражалтья через отрицательный коэффициент от  $i$  , ну, а поскольку  $I = \frac{28}{3}i$  , то, с самого начала, мы выбрали удачное направление для  $i$  . Хотя, будь он и отрицательным (при других параметрах), это ничего бы принципиально не изменило в решении. Просто в конце концов, мы поделили бы одно алгебраическое выражение с минусом на другое выражение с минусом, и так же получили бы какое-то положительное выражение для общего сопротивления.