Question

Решите оч сложное уровнение ПЖ СРОЧНО!!!!!
$7\sqrt[3]{7x-6}=x^{3}+6$

Answer 1

$7\sqrt[3]{7x-6}=x^{3}+6$

Преобразуем это уравнение так, чтобы правая часть превратилась в х:

$7\sqrt[3]{7x-6}-6=x^{3}\\\\\sqrt[3]{(7\sqrt[3]{7x-6}-6)}=x$

Рассмотрим функцию $f(x)=\sqrt[3]{7x-6}$. Если обозначить $f(x)$  через y, то уравнение  $\sqrt[3]{(7\sqrt[3]{7x-6}-6)}=x$  примет вид $\sqrt[3]{7y-6}=x$,  или  $f(y)=x$,  или  $f(\:f(x)\:)=x$

Так как  $f(x)=\sqrt[3]{7x-6}$ - возрастающая функция, то согласно теореме:

• Если функция $f(x)$ монотонно возрастает (убывает) на своей области определения, тогда уравнения $f(x)=x$  и  $f(\:f(x)\:)=x$  равносильны

То есть $\sqrt[3]{7x-6}=x$, остаётся только его решить:

$7x-6=x^{3}\\\\x^{3}-7x+6=0\\\\x^{3}-x-6x+6=0\\\\x(x^{2}-1)+6(x-1)=0\\\\(x-1)(x^{2}+x-6)=0\\\\1)\:\:\:x_{1}=1\\\\2)\:\:\:x^{2}+x-6=0$

По теореме, обратной теореме Виета  $x_{2}=-3$  и  $x_{3}=2$

Ответ: ${-3;1;2}$