Question

найти наименьшее и наибольшее значение выражения (остальное на картинке). огромное спасибо заранее​

Answer 1

найти наименьшее и наибольшее значение выражения

3sin²α + 2cosα

Решение:

$3\sin^2\alpha+2\cos\alpha=3(1-\cos^2\alpha)+2\cos\alpha=3-3\cos^2\alpha+2\cos\alpha=\\ \\ =-3\cos^2\alpha+2\cos\alpha+3=-3\left(\cos \alpha-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{10}{3}$

Функция cosx изменяется в пределах от -1 до 1. Оценим в виде двойного неравенства и найдем наибольшее и наименьшее значение данной функции.

$-1\leq \cos\alpha\leq 1~~~~~\bigg|-\dfrac{1}{3}\\ \\ -\dfrac{4}{3}\leq \cos \alpha-\dfrac{1}{3}\leq \dfrac{2}{3}$

Возведя все части неравенств до квадрата, получим

$0\leq\left(\cos \alpha-\dfrac{1}{3}\right)^2\leq\dfrac{16}{9}~~~~~\bigg|\cdot (-3)\\ \\ -\dfrac{16}{3}\leq-3\left(\cos\alpha-\dfrac{1}{3}\right)^2\leq 0~~~~\bigg|+\dfrac{10}{3}\\ \\ -2\leq -3\left(\cos\alpha-\dfrac{1}{3}\right)^2+\dfrac{10}{3}\leq \dfrac{10}{3}$

Отсюда наименьшее значение выражение равно -2, а наибольшее - $\dfrac{10}{3}$