Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y= x+1 / x^2+1 в точке с абсциссой x0=1

Answer 1

Касательная задается уравнением: $f(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$

Значение функции в точке $x_0=1:$

$y(1)=\dfrac{1+1}{1^2+1}=\dfrac{2}{2}=1$

Найдем теперь производную функции по формуле производной частного

$y'=\left(\dfrac{x+1}{x^2+1}\right)'=\dfrac{(x+1)'\cdot (x^2+1)-(x+1)\cdot (x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\\ \\ \\ =\dfrac{x^2+1-2x(x+1)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{x^2+1-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}=\dfrac{-x^2-2x+1}{(x^2+1)^2}$

Значение производной функции в точке $x_0:$

$y'(1)=\dfrac{-1^2-2\cdot 1+1}{(1^2+1)^2}=-\dfrac{1}{2}$

Находим наше уравнение касательной:

$f(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot (x-1)+1=-\dfrac{x}{2}+\dfrac{3}{2}$