Question

Помогите пожалуйста вычислить предел!

Answer 1

Здесь неопределённость $1^{\infty}$, поэтому используется второй замечательный предел

$\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{{\rm tg}^2x}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(1+\sin x-1)^{\frac{\sin^2x}{\cos^2x}}=\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(1+\sin x-1)^{\frac{\sin^2x}{1-\sin^2x}}=\\ \\ \\ =\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}(1+\sin x-1)^{-\frac{\sin^2x}{(\sin x-1)(\sin x+1)}}=e^\big{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}-\frac{\sin^2x}{\sin x+1}}=e^{-\frac{1}{1+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}$