Question

Трёхзначное число с первой цифрой 2 записали подряд 1989 раз, и получили сисло, делящееся на 91. Найдите это число.​

Answer 1

Ответ:

273

Пошаговое объяснение:

Пусть искомое трехзначное число - это A = A * 1.

Записанное два раза подряд число - это 1001A = A * (1000 + 1). Получить его можно, например, так: дописать 3 нуля к A (это равносильно умножению на 1000) и прибавить его само.

Число, полученное из трёх записей A подряд - это 1001001A = A * (1000^2 + 1000 + 1).

Аналогично, число с записанными 1989 раз подряд А - это

$(1000^{1988}+1000^{1987}+\cdots+1000+1)A$

Выражение в скобках - сумма геометрической прогрессии. Её сумму можно выразить как

$\dfrac{1000^{1989}-1}{1000-1}=\dfrac{1000^{1989}-1}{999}$

Итак,

$\dfrac{1000^{1989}-1}{999}A$

должно делиться на $91=7\cdot 13$

Непосредственной проверкой убеждаемся, что 999 не делится ни на 7, ни на 13, поэтому можно говорить, что полученное длинное число делится на 91, если и только если на 91 делится $(1000^{1989}-1)A$

Проверим, делится ли выражение в скобках на 7 или 13. Заметим, что 1001 делится на 7 и на 13. Тогда $1000^k=(1001-1)^k$ дает такой же остаток при делении на 7 и на 13, что и $(-1)^k$ (мысленно раскроем скобки в степени. Почти все слагаемые будут делиться на 1001, кроме того, что будет только произведением минус единиц). Значит, $1000^{1989}-1$ дает такой же остаток при делении на 7 и на 13, что и $(-1)^{1989}-1=-2$, и, таким образом, не делится ни на 7, ни на 13.

Из этого можно сделать вывод, что условие выполнено, только если A делится на 91. С учетом ограничения на первую цифру, это дает единственный вариант A = 3 * 91 = 273.