Question

Последовательность положительных чисел a, b, c образует арифметическую прогрессию, а последовательность a + 1, b + 2, c + 3 – геометрическую прогрессию, причём здесь a + b + c = 9. Найдите c:​

Answer 1

Ответ:c=2

Объяснение:

арифметическая прогрессия:

  1 член а

2 член b=a+d

3 член a+d+d=a+2d

Их сумма :  а+a+d+a+2d=3a+3d=3(a+d) по условию она равна 9

                    3(a+d)=9⇒a+d=9:3=3

                      a+d=3 - это b

так ка a+b+c=9

         a+3+c=9⇒a+c=6  или с=6-а

По свойству геом.прогрессии  (b + 2)/(a + 1)=(c + 3)/ (b + 2)

По свойству пропорции  (b + 2)²=(a + 1)(c + 3)

Подставим вместо c    6-а

5²=(a + 1)(6-a+3)

(a + 1)(9-a)-25

9a-a² +9-a-25=0

-a²+8a-16=0

a²-8a+16=0

(a-4)²=0⇒a=4

тогда с= 6-4=2

с=2

Answer 2

$a\; ,\; b\; ,\; c\; -\; \; arifmet.\; progr.\; \; \to \; \; b=a+d\; ,\; c=a+2d\; ,\\\\a+b+d=a+(a+d)+(a+2d)=3a+3d=9\; \; \to \; \; 3(a+d)=9\; ,\\\\a+d=3\; \; \to \; \; \underline {b=a+d=3}\; ,\\\\a+b+c=a+3+c=9\; \; \to \; \; a+c=6\; ,\; \underline {a=6-c}\; ,\\\\\\(a+1)\; ,\; (b+2)\; ,\; (c+3)\; -\; geom.\; progr.\; \; \to \; \; (b+2)^2=(a+1)(c+3)\\\\(3+2)^2=(6-c+1)(c+3)\; \; \to \; \; \; 25=(7-c)(c+3)\; ,\\\\25=7c+21-c^2-3c\\\\c^2-4c+4=0\; \; \to \; \; (c-2)^2=0\; \; \to \; \; c-2=0\; ,\; \underline {c=2}\\\\Otvet:\; \; c=2\; .$