Question

Даны точки A(2,3),B(−1,−4),C(0,5)
. Найдите площадь треугольника ABC.
Помогите,пожалуйста!

Answer 1

Алгоритм такой:

1) Находим координаты векторов AB и AC

2) Определяем длины векторов AB и AC

3) Находим косинус угла между векторами(угол a)

4) Через основное тригонометрическое тождество находим синус

5) Находим площадь треугольника по формуле

Для данной задачи:

$\vec{AB}=(-1-2,-4-3)=(-3,-7)\\\vec{AC}=(0-2,5-3)=(-2,2)\\|\vec{AB}|=\sqrt{(-3)^2+(-7)^2}=\sqrt{9+49}=\sqrt{58}\\|\vec{AC}|=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}\\cos(\alpha)=\frac{\vec{AB}*\vec{AC}}{|\vec{AB}|*|\vec{AC}|} =\frac{6-14}{\sqrt{58*8}} =\frac{-8}{4\sqrt{29}} =-\frac{2}{\sqrt{29}} \\\alpha \in(\frac{\pi}{2};\pi)\Rightarrow sin(\alpha)>0\\sin(\alpha)=\sqrt{1-(-\frac{2}{\sqrt{29}})^2}=\sqrt{\frac{29-4}{29} }=\frac{5}{\sqrt{29}}$

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}*|\vec{AB}|*|\vec{AC}|*sin(\alpha)=\frac{1}{2} *\sqrt{58}*\sqrt{8}*\frac{5}{\sqrt{29}}=\\=\frac{4\sqrt{29}*5}{\sqrt{29}*2} =2*5=10$

Ответ: 10