Question

Найдите ранг матрицы
5 4 1 3
3 2 1 1
2 1 1 4
1 3 -2 2

Answer 1

Ответ:

3

Пошаговое объяснение:

$Det=\left|\begin{array}{cccc}5&4&1&3\\3&2&1&1\\2&1&1&4\\1&3&-2&2\end{array}\right| =5*\left|\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&4\\3&-2&2\end{array}\right|-3*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\1&1&4\\3&-2&2\end{array}\right| +2*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\2&1&1\\3&-2&2\end{array}\right| -1*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\2&1&1\\1&1&4\end{array}\right|$

$5*\left|\begin{array}{ccc}2&1&1\\1&1&4\\3&-2&2\end{array}\right|=5*((2*1*2+1*4*3+1*1*(-2))-(1*1*3+1*1*2+2*4*(-2)))=5*((4+12-2)-(3+2-16))=5*(14+11)=5*25=125\neq 0$

Отсюда, ранг матрицы не меньше 3!

$3*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\1&1&4\\3&-2&2\end{array}\right|=3*((4*1*2+1*4*3+3*1*(-2))-(3*1*3+1*1*2+4*4*(-2)))=3*((8+12-6)-(9+2-32))=3*(14+21)=3*35=105$

$2*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\2&1&1\\3&-2&2\end{array}\right|=2*((4*1*2+1*1*3+3*2*(-2))-(3*1*3+1*2*2+4*1*(-2)))=2*((8+3-12)-(9+4-8))=2*(-1-5)=2*(-6)=-12$

$1*\left|\begin{array}{ccc}4&1&3\\2&1&1\\1&1&4\end{array}\right|=1*((4*1*4+1*1*1+3*2*1)-(3*1*1+1*2*4+4*1*1))=(16+1+6)-(3+8+4)=23-15=8$

Тогда

$Det=125-105+(-12)-8=125-125=0$

и отсюда следует, что ранг матрицы меньше 4.

Значит, ранг матрицы равен 3.