Ответы
8.1 1) Рассм. число 2019^2019:
Это число 2019 умножается само на себя 2019 раз, т.е.
2019 ∙ 2019 ∙ 2019 ∙ ……∙ 2019
.____________________________.
2019 шт
Последняя цифра 9 будет умножаться само на себя 2019 раз и в итоге определит последнюю цифру числа 2019^2019. Выясним, что это будет за цифра:
Степени 9^k оканчиваются на цифры: 1 и 9. Построим таблицу:
Окончания 9^k| 1 | 9
Степень k, дающая данное окончание | 0 | 1
Степень k, дающая данное окончание | 2 | 3
Степень k, дающая данное окончание | 4 | 5
Степень k, дающая данное окончание | 6 | 7
четн | нечетн
Вывод: число 9^k оканчивается на ц. 1, если степень k– четная, и на ц. 9 – если нечетная. Т.к. степень 2019 – нечетн. число, число 2019^2019 оканчивается на цифру 9
2) Рассм. число 2018^2018:
Это число 2018 умножается само на себя 2018 раз, т.е.
2018 ∙ 2018 ∙ 2018 ∙ ……∙ 2018
.____________________________.
2018 шт
Последняя цифра 8 будет умножаться само на себя 2018 раз и в итоге определит последнюю цифру числа 2018^2018. Выясним, что это будет за цифра:
Степени 8^k оканчиваются на цифры: 8, 4, 2 и 6. Построим таблицу:
Окончания 9^k| 8 | 4 | 2 | 6
Степень k, дающая данное окончание | 1 | 2 | 3 | 4
Степень k, дающая данное окончание | 5 | 6 | 7 | 8
Степень k, дающая данное окончание | 9 | 10 | 11 | 12
Степень k, дающая данное окончание | . | . | . | .
4n-3 | 4n-2 | 4n-1 | 4n– общ. формула степени
Вывод: число 8^k оканчивается на ц. 8, если степень вида k=4n-3; на ц. 4, если k=4n-2; на ц. 2, если k=4n-1; на ц. 6, если k=4n. Определим, какого вида число 2018:
2018 = 2020 – 2 = 4∙505 – 2 = |n=505| = 4n– 2. Т.о. число 2018^2018 оканчивается на ц. 4
3) Тогда сумма 2019^2019 + 2018^2018 оканчивается на ц. 3 (9 + 4 =13 => ц. 3)
8.2 Углы AXB и XBC равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей BX. Углы XBC и XBA равны, так как BX — биссектриса угла ABC. Получаем, что ∠AXB = ∠XBA, откуда следует, что треугольник AXB — равнобедренный, AB = AX = 6;
XD = AD — AX = 11 — 6 = 5. Аналогично получаем, что AY = 5. Тогда XY = AD — AY — XD = 11 — 5 — 5 = 1.
8.3 3xy+14x+17y+71=0
x(3y+14)+5(3y+14)+2y+1=0
x=-5-(2y+1)/(3y+14) - целое, значит
(2y+1)/(3y+14) = n - целое
y=-4-(2n+7)/(3n2)=-4 - S(n)
Заметим, что предел последовательности
S(n) при n -> +- бесконечности равен 2/3
Следовательно начиная с определенного значения n, при котором S(n) < 1, последовательность S(n) монотонно убывает приближаясь к 2/3
Проверяем n, начиная с 0. (n=0, +-1, +-2, ..)
Имеем, S(-1)=1, y=-3
При n<-1 мысла проверять не имеет, так как числитель меньше знаменателя.
S(1)=9, y=-13
S(9)=1, y=-5
При n>9
S(n)<1
Итак, у=-13;-5;-3
Соответственно, х=-6; -14;-4
Ответ: (-6;-13), (-4;-3), (-14;-5)
8.4 (n^2+6n+9)-1=(n+3)^2 - 1=((n+3)+1)((n+3)-1)=(n+4)(n+2);
(n+4)(n+2)/(n+3)
8.5 Они начинают бежать с разных сторон. Значит, Пятачок догонит Винни через х времени. Как только Пятачок догонит Винни, он начинает бежать "2 раз", с одного и того же места с Винни. Значит, он догонит его через 1,5 х времени(прибавляется время пробега в полкруга). И так еще раз (обгоняет 3 раза). Получаем ур-е: х+1,5х+1,5х=10. Решаем: х=2,5 мин. Это время, за которое Пятачок обгоняет Винни, начиная бежать с диаметрально противоположных точек пруда. Через 10 минут Пятачок с Винни находятся в одной и той же точке. Значит, через 1,5 х времени.
Ответ: через 3 минуты 45 секунд или 225 секунд.