Question

1) Определить под каким углом кривая y=$\frac{x-1}{1+x^{2} }$ пересекает ось абсцисс

2) В какой точке касательная к параболе y=$x^{2}$ перпендикулярна 2x-6y+5=0

Answer 1

Ответ: 1) α=arctg(1/2)≈-26,6°. 2) M(-3/2;9/4).

Объяснение:

1) Угол, под которым кривая пересекает ось абсцисс, есть угол наклона касательной, проведённой к графику функции в точке пересечения, к оси абсцисс.  Решая уравнение y=0, находим x=1 - абсцисса точки пересечения кривой с осью абсцисс. Сама точка пересечения имеет координаты (1;0). Пусть α - искомый угол, тогда tg(α)=y'(x0), где x0=1 - абсцисса точки пересечения кривой с осью абсцисс. Находим производную: y'(x)=(-x²+2*x+1)/(1+x²)². Отсюда y'(x0)=y'(1)=1/2. Тогда α=arctg(1/2)≈26,6°.

2) Пусть M(x0;y0) - искомая точка. Перепишем уравнение прямой в виде y=1/3*x+5/6. Отсюда следует, что угловой коэффициент этой прямой k1=1/3. Пусть k2 - угловой коэффициент касательной. Так как по условию она перпендикулярна данной прямой, то k2=-1/k1=-3.  Но k2=y'(x0). Находим производную: y'=2*x, тогда y'(x0)=2*x0 и отсюда следует уравнение 2*x0=k2=-3. Решая его, находим x0=-3/2, а тогда y0=x0²=9/4. Таким образом, точка М найдена.

Answer 2

1) Находим точку пересечения кривой с осью абсцисс.

х - 0 = 0, отсюда х = 1.

Производная заданной функции y'(x) = (-x²+2*x+1)/(1+x²)².

В точке х = 1 значение производной y'(1) = (1/2).

Угол наклона касательной равен:

α = arc tg(1/2) = 0,464 радиан или 26,565 градуса.

2) Даны парабола y= х² и  прямая р: 2x-6y+5=0.

Перпендикуляр к касательной к параболе- это нормаль:

y = (1/y'(x0) - x0) + y0.

Угловой коэффициент такой нормали равен: к = -1/к(р).

У прямой р к(р) = 2/6 = 1/3, тогда к = -1/(1/3) = -3.

Приравниваем -3 = (1/y'(x0), y'(x0) = -3.

Производная функции y = x² равна: y' = 2x.

Приравняем 2х = -3, откуда х = -3/2 а у = (-3/2)² = 9/4.

Ответ: точка ((-3/2); (9/4)).